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一类椭圆型方程组解的存在性

刘越里 董芳芳

(天水师范学院数学与统计学院,甘肃 天水 741001)

【摘 要】本文研究了一类依赖于正参数λ椭圆型方程组,利用变分方法得到方程组存在最小能量解且为正解。

教育期刊网 http://www.jyqkw.com
关键词 最小能量解;正解;山路形结构

The Existence of Solution for a Class of Elliptic Systems

LIU Yue-li Dong Fang-fang

(College of Mathematical and Statistics,Tianshui Normal University,Tianshui Gansu 741001)

【Abstract】By studying a class of elliptic systems depending on a positive parameter λ, a positive least energy solution was given through variational methods.

【Key words】Least energy solution;Positive solution;Mountain Pass geometry

※基金项目:天水师范学院中青年教师科研资助项目(TSY201201)。

作者简介:刘越里(1981—),甘肃天水人,硕士,天水师范学院数学与统计学院,讲师,研究方向为偏微分方程。

1 引言

非线性偏微分方程(组)在分析,物理,力学等领域起到重要作用,其弱解的存在性,正则性及稳定性是偏微分方程理论中研究的一个重要课题[1-3]。本文研究了一类非线性椭圆型方程组能量泛函的临界点的存在性,并且该解为最小能量解,进一步利用强极大值原理表明所得到的方程组的弱解为正解,推广了文献[4-6]的主要结果。

考虑具有变分结构的非线性椭圆型方程组

由假设(H1)和(H2),容易得到Iλ∈C1(X,R),Iλ的临界点为(Sλ)的弱解。本文得到(Sλ)最小能量解的存在性,进一步所给出解为(Sλ)的正解。

定义1.1[4] 称z=(u,v)为正,当且仅当u,v均为正。

定理1.1 假设(H1)和(H2)成立,则存在∧>0,使得对λ≥∧,方程组(Sλ)有最小能量解zλ且为正解。

定理1.1为文中主要结果。

2 预备知识及引理

由引理(2.2)及假设(H2)可以得到对任意给定λ>0,Iλ∈C1(X,R)。

定义2.1[7] 设E为巴拿赫空间,I∈C1(E,R),(zn)?奂E,若I(zn)→c,I′(zn)→0,则称(zn)为(ps)c序列;进一步若(ps)c序列具有收敛子列,称I满足(ps)c条件。

(iii)若c≠0,且λ≥1则存在与λ无关的正常数γ0使得c≥γ0>0.

证明 引理2.3同文献[4]中引理3.1的证明.

证明 引理2.4的证明同文献[4]中引理3.2.

引理2.5 设λ≥1,存在与λ无关的β,ρ>0及z0∈X,使得

(i)当||z||λ=ρ时,Iλ(z)≥β;

(ii)Iλ(z0)≤Iλ(0)=0且||z||λ>ρ。

证明 引理2.5同文献[4]中引理3.4的证明。

3 定理1.1的证明

同理可得

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参考文献

[1]胡亚新.一类拟线性椭圆型方程组弱解对边值的稳定性[J].上海交通报,2008,42(3):504-507.

[2]王哲.一类一阶椭圆型方程组的 Schauder 估计[J].复旦大学,2007,46(2):209-214.

[3]D.G.Costa..On a class of elliptic systems in RN[J].Electron.J.Differential Equation,

1994,7:1-14.

[4]Marcelo F.Fuetado,Elves A.B.Silva,Magda S.Xavier.Multiplicity and concentration of solution for elliptic systems with vanishing potentials[J].Journal of Differential Equations,2010,249:2377-2396.

[5]T.Bartsch,Z.-O. Wang.Existence and multiplicity results for some super-linear elliptic problems on RN[J].Comm.Partial Differential Equations,1995,20:1725-1741.

[6]T.Bartsch,A.Pankov,Z.-O. Wang.Nonlinear Schrodinger equations witn steep potential well[J].Commun.Contemp.Math.,2001,3,1-21.

[7]张恭庆.临界点原理及其应用[M].上海科学技术出版社,1986.

[责任编辑:曹明明]

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