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基于递推法的几类分式函数不定积分的求解

基于递推法的几类分式函数不定积分的求解

张春春李俊祥蒋君颜婷

(武汉科技大学理学院湖北武汉430065)

摘要:基于递推法的思想,对几类分式函数的不定积分进行了凑因子、拆项处理,利用换元积分和分部积分等,得到了它们的递推公式,从而求出积分结果。

教育期刊网 http://www.jyqkw.com
关键词 :不定积分;分式函数;换元积分法;分部积分法;递推法

中图分类号:O172.2文献标识码:Adoi:10.3969/j.issn.1665-2272.2015.16.037

1引言

不定积分问题在高等数学中占有重要的地位。不定积分形式多样,方法灵活,技巧性强。常见的积分方法有:直接积分法、换元积分法、分部积分法等。分式函数问题是不定积分中的常见问题,它主要依据多项式分解定理,把分式函数进行拆分,即有理函数的待定系数法、三角函数有理式的万能公式代换法等方法进行求解。对于一些特殊的整式函数的不定积分的解法有,采用分部积分法求解形如

函数的不定积分除了上述解法外,还有一些特殊的积分方法,如凑因子法、拆项法、倒代换法、组合积分法、缩放配凑法、有理函数作部分分式的巧妙分解等。

如果分式函数的分母次数比较高时,它们的不定积分的计算将比较繁杂,结果形式也比较复杂。本文对几类特殊的分式函数的不定积分进行了研究,采取了适当的凑因子和恰当的拆项处理,运用换元积分法和分部积分法等,得到了它们的递推公式,从而求出了其积分结果。

第一类不定积分的求解

求解不定积分:

3结论

本文对几类分式函数的不定积分进行了探讨。这几类分式函数的分母次数比较高,显然直接利用有理函数的待定系数法处理很困难,用倒代换法等方法也无法处理。但本文巧妙的采取了凑因子,拆项的方法,运用换元积分法和分部积分法等,得到了它们的递推公式,快速地获得了它们的积分结果,并进行了适当的推广。第二类不定积分,本文只计算了几个特殊情况,其它情形还有待于继续研究推广。

递推法是求解含高次幂的函数的不定积分的一个有效方法,希望本文的研究能帮助大家更好地使用此方法。

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(责任编辑高平)

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