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浅谈倒奇函数和倒偶函数

李 磊

(安徽理工大学化学工程学院,安徽 淮南 232001)

【摘 要】由的积分得到启发,依据倒代换、积分函数理论得到一类与奇偶函数性质极为相似形如F(x)=F(1/x)或F(-x)=-F(1/x)的一类函数。该函数不同于奇偶函数之处是,不像奇偶函数那样具有严格的对称性,但经过倒代换函数数值上却有对称性,有方便解决互为倒数区间的定积分的用途。

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关键词 奇偶;倒代换;积分函数;互为倒数区间

1 定义

形如F(x)=F(1/x)或F(x)=-F(1/x)的函数叫做倒偶函数和倒奇函数。若F(x)=F(1/x)则F(x)为倒偶函数;若F(x)=-F(1/x)则称F(x)为倒奇函数。

2 在初等函数中倒置函数的常见例子

F(x)=C,F(x)=logɑ x分别为倒偶函数和倒奇函数。

证明:F(x)=C,F(1/x)=C ∴F(x)=C为倒偶函数

F(x)=logɑ x=logɑ xF(1/x)=-logɑ x=-F(x) ∴F(x)=logɑ x为倒奇函数。

而F(x)=ɑx,xn,sin x,cos x,tan x,arcsin x,arctan x都不是倒置函数。

3 倒置函数的一般表示及其证明

4 函数与奇偶函数的对比

4.1 奇偶函数与倒置函数的写法

偶函数必满足F(-x)=F(x),倒偶函数必满足F(x)=F(1/x)

奇函数必满足F(-x)=-F(x),倒奇函数必满足F(x)=-F(1/x)

4.2 倒偶函数的特殊极值点与偶函数的特殊极值点的比较

倒偶函数的写法由上述推导可得出F(x)=f(x)+f(1/x)对F(x)求导求导可得F'(x)=f'(x)-1/x2f'(1/x) ∴F'(1)=f'(1)-f'(1)=0 ∴x=1必为驻点。那么x=1是否为极值点呢?x=1必为极值点。

证明:F'(1)=f'(1+)-f'(1-)而F'(1-)=f'(1-)-f'(1+)=-f'(1+)-f'(1-)=-F'(1)由此可见F'(x)和F'(1/x)必异号。∴0在(1-,1)和(1,1-)上F'(x)的正负号发生了变化,故而得F(1)必为极大值或极小值,进而得x=1必为极值点。

而F(x)为偶函数则可写成F(x)=f(x)+f(-x)进而有F'(x)=f'(x)-f'(-x),∴F'(0)=f'(0)-f'(0)=0故而x=0必为驻点。F'(0+)=f'(0+)-f'(0-),而F'(0-)=f'(0-)-f'(0+)=-(f'(0+)-f'(0-)),由此可见由此可见F'(0+)和F'(0-)必异号。∴0在(-,0)和(0,)上F'(x)的正负号发生了变化,故而得F(0)必为极大值或极小值,进而得x=1必为极值点。

4.3 积分证明奇偶性与积分证明正负倒置性的比较

5 应用

6 应用拓展

由上述探讨知,倒奇函数和倒偶函数有着与奇偶函数性质上极为相似的地方。在教材上以及在其他书上很少见到,但这类函数却十分普遍。用途上十分少见但确实对一些互为倒数区间上的定积分起到作用。

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参考文献

[1]朱白.对称区间上奇偶函数的定积分性质的推广[J].和田师范专科学校学报:汉文综合版,2008,51(2):188-188.

[2]同济大学应用数学系.高等数学[M].5版.北京:高等教育出版社,2002.

[3]费为银,王传玉,项立群,万上海.高等数学[M].合肥:中国科技技术大学出版社,2009.

[责任编辑:邓丽丽]

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